Wasserwellen in der Badewanne, die Geburt eines schwarzen Lochs oder der Ablauf chemischer Reaktionen – all diese Vorgänge werden mathematisch mit Hilfe von Differentialgleichungen beschrieben. Sie sind ein ungeheuer mächtiges Werkzeug, das praktisch in allen Bereichen der Naturwissenschaft verwendet wird. Manchmal stößt man dabei allerdings auf mathematische Grenzen – etwa wenn die Lösung der Differentialgleichung über alle Maßen wächst. Man spricht dann vom "Blow-up", von der "Explosion" der Lösung. Mit diesem Phänomen beschäftigte sich Birgit Schörkhuber in ihrer Dissertation, für die sie nun den Hannspeter-Winter-Preis erhielt.

Die Zukunft vorhersagen
Oft nutzt man solche Gleichungen, um aus einem klar definierten Anfangszustand die künftige zeitliche Entwicklung eines Systems zu berechnen. Wie wird sich die Welle ausbreiten? Wird aus einer Materieverteilung ein schwarzes Loch entstehen oder nicht? Wird die Konzentration einer Chemikalie sinken oder steigen? "Man spricht dann von Anfangswertproblemen", erklärt Birgit Schörkhuber. "Partielle Differentialgleichungen, die Änderungen von physikalischen Größen in Zeit und Raum beschreiben, legen fest, wie sich der momentane Zustand eines Systems weiterentwickeln wird." Praktisch alle physikalischen Theorien sind mathematisch auf diese Weise formuliert – von der Strömungslehre über den Elektromagnetismus bis hin zur Quantenmechanik und Einstein's allgemeiner Relativitätstheorie.

Im besten Fall lässt sich aus einem Anfangszustand das Verhalten bis in alle Zeit vorherberechnen. Aber manchmal ist zu irgendeinem Zeitpunkt Schluss, weil die Lösung irgendwo ins Unendliche geht. Und genauso wie man nicht durch null dividieren kann, lässt sich die Lösung der Differentialgleichung dann auch nicht weiterführen. "Verantwortlich für den Blow-up einer Lösung sind selbstverstärkende Prozesse im System. Mathematisch werden diese durch nichtlineare Terme in der Differentialgleichung modelliert", erläutert Birgit Schörkhuber.

Wenn Blow-up stattfindet und die Lösung "explodiert", bricht das zugrundeliegende Beschreibungsmodell zusammen. Man ist dann an einen Punkt gelangt, an dem sich mathematisch über die weitere Entwicklung des Systems nichts mehr aussagen lässt. In ihrer Forschungsarbeit ist es Birgit Schörkhuber gelungen, Blow-up für nichtlinearere Wellengleichungen zu analysieren und wichtige Eigenschaften solcher Lösungen zu charakterisieren.

"Wir möchten wissen, was da genau passiert", sagt Schörkhuber. "Computersimulationen können uns wichtige Hinweise über das Blow-up Verhalten liefern - wir versuchen dann mit Papier und Bleistift allgemein gültige Aussagen abzuleiten und Vermutungen über die Natur des Blow-up zu beweisen."


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http://www.tuwien.ac.at/aktuelles/news_detail/article/9262/

Quelle: Technische Universität Wien (01/2015)